《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT下载(向量的数量积)
第一部分内容：内容标准
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义．
2.会计算平面向量的数量积．
3.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
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平面向量的运算PPT，第二部分内容：课前 • 自主探究
[教材提炼]
知识点一 两个向量的夹角与垂直
预习教材，思考问题
如图，一个物体在力F的作用下产生了位移s，其中力、位移分别是矢量还是标量？它们的夹角是什么？
知识点二 向量的数量积
预习教材，思考问题
力F所做的功应当怎样计算？决定功大小的量有哪几个？功是矢量还是标量？
特别提醒 (1)“•”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；
(2)数量积的结果为数量，不再是向量；
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零．
知识点三 投影向量
预习教材，思考问题
(1)如图，已知线段AB和直线l，过线段AB的两个端点A，B，分别作直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，得到线段A1B1，那么线段A1B1叫做什么？
[提示] 线段A1B1叫做线段AB在直线l上的投影线段．
(2)设直线AB与直线l的夹角为θ，那么|A1B1|与|AB|，θ之间有怎样的关系？
[提示] |A1B1|＝|AB|cos θ.
知识点四 平面向量数量积的性质
预习教材，思考问题
已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角，e为与b方向相同的单位向量．
(1)根据数量积公式，计算a•e，a•a.
(2)若a•b＝0，则a与b有什么关系？
(3)当θ＝0°和180°时，数量积a•b分别是什么？
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平面向量的运算PPT，第三部分内容：课堂 • 互动探究
探究一 计算平面向量的数量积
[例1] 已知|a|＝3，|b|＝4，|c|＝5，向量a，b的夹角是120°，a，c的夹角是45°.求：
(1)a•b；
(2)(a－2b)•(3a＋b)；
(3)a•(a－4b＋2c)．
[分析] 根据向量数量积的定义和运算律进行求解．
方法提升
求向量数量积的一般步骤
(1)运用数量积的运算律展开、化简；
(2)确定向量的模与夹角；
(3)套用数量积的定义式代入计算即得．
探究二 求投影向量
[例2] 已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a在向量e上的投影向量是________；向量e在向量a上的投影向量是________．
方法提升
向量a在向量b上的投影向量的求法
将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e是与b方向相同的单位向量，且e＝b|b|)中计算即可．
探究三 利用数量积解决向量的夹角和垂直问题
[例3] (1)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A.π3 B.π2
C.2π3 D.5π6
(2)已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角及a与a－b的夹角．
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平面向量的运算PPT，第四部分内容：课后 • 素养培优
一、“摇身一变的运算”——向量的数量积运算
直观想象、数学运算
向量运算的结果突变，由向量变数量，我们以物理中力做功为背景，定义了两个向量的数量积，理解了功的含义，也就理解了数量积含义，求数量积的关键就是找准夹角．
[典例1] 如图，正三角形ABC边长为2，设BC→＝2BD→，AC→＝3AE→，则AD→•BE→＝________.
[素养提升] 对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征， 灵活选用基底，转化为可以进行数量积运算的基底即可．
二、转化与化归思想——求向量模的基本方法
数学运算、逻辑推理
一般的求模的问题，只要对该向量平方，转化为已知向量的数量积即可解决．
[典例2] 若向量a与向量b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)•(a－3b)＝－72.求：
(1)|a|；
(2)|a＋b|.
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