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《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第一课时余弦定理)

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第一课时余弦定理) 详细介绍:

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《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第一课时余弦定理)

第一部分内容:内容标准

1.会借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系.

2.掌握余弦定理及其推论.

3.能够利用余弦定理及推论解三角形.

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平面向量的应用PPT,第二部分内容:课前 • 自主探究

[教材提炼]

知识点一 余弦定理

预习教材,思考问题

(1)已知一个三角形的两条边及其它们的夹角,这个三角形的大小、形状能完全确定吗?

(2)在△ABC中,如果已知边a,b和角C,那么从向量的角度考虑,边c的长度可视为什么?向量AB→如何用已知边所对应的向量表示?如何求出|AB→|?边c的长度用边a,b和角C如何表示?

知识梳理 (1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和     这两边与它们夹角的_____的积的两倍.

(2)符号语言:在△ABC中,a2=__________,b2=__________,c2=__________.

知识点二 余弦定理的推论

预习教材,思考问题

在△ABC中,已知三条边,如何求出其三个内角?

知识点三 解三角形

预习教材,思考问题

一个三角形有几个内角,几条边?

[自主检测]

1.在△ABC中,符合余弦定理的是(  )

A.c2=a2+b2-2abcos C

B.c2=a2-b2-2bccos A

C.b2=a2-c2-2bccos A

D.cos C=a2+b2+c22ab

2.在△ABC中,已知a2+b2=c2+2ba,则C=(  )

A.30° B.45°

C.135° D.150°

3.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足的条件是(  )

A.a2<b2+c2 B.a2=b2+c2

C.a2>b2+c2 D.a2≤b2+c2

4.在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,则AC=__________.

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平面向量的应用PPT,第三部分内容:课堂 • 互动探究

探究一 已知两边及一角解三角形

[例1] (1)在△ABC中,已知a=2,b=22,C=15°,求角A.

(2)在△ABC中,已知b=3,c=33,B=30°,求a.

方法提升

已知三角形的两边及一角解三角形的方法

已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边的夹角,还是其中一边的对角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三条边.

探究二 已知三边解三角形

[例2] 已知△ABC中,a∶b∶c=2∶6∶(3+1),求△ABC的各内角度数.

方法提升

已知三边解三角形的步骤

(1)分别用余弦定理的推论求出两个角;

(2)用三角形内角和定理求出第三个角.

探究三  判断三角形的形状

[例3] 已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断此三角形的形状.

方法提升

1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:(1)化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.(2)化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.

2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:

(1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.

(2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2.

(3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.

(4)若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=π2.

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平面向量的应用PPT,第四部分内容:课后 • 素养培优

一、“勿忘我”——三角形中不等关系的利用

逻辑推理、数学运算

在三角形中,当解决边和角的范围问题时,首先要考虑到三角形中的隐含条件,如锐角三角形,钝角三角形,大边对大角,大角对大边,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边等等.

二、余弦定理与基本不等式在解三角形中的综合应用

逻辑推理、数学运算

在求周长或面积范围时常用余弦定理转化为边的关系,再利用基本不等式求解.

[典例2] 已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(sin B,1-cos B)与向量n=(2,0)的夹角θ的余弦值为12.

(1)求角B的大小;

(2)若b=3,求a+c的取值范围.

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