《简单的三角恒等变换》三角函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.能用二倍角公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.
2.理解半角的正弦、余弦和正切公式.
3.会用倍角公式和半角公式进行三角函数的求值、化简和证明.
4.理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程.
5.能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.
6.学会初步运用“辅助角”公式来化简三角函数式,进而研究函数图象和性质,并能明确辅助角公式的使用条件.
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简单的三角恒等变换PPT，第二部分内容：自主预习
一、半角公式
1.二倍角公式是用单角α的三角函数来表示倍角2α的三角函数,根据倍角关系的相对性,能否用单角α的三角函数来表示α/2的三角函数呢?
提示:由倍角公式可得sin2α/2=(1"-" cosα)/2,cos2α/2=(1+cosα)/2,开方即可得到sin α/2,cos α/2用cos α来表示的表达式.
2.填空
(半角公式)
(1)sin α/2=±√((1"-" cosα)/2) ("符号由" α/2 "角所在的象限决定" );
(2)cos α/2=±√((1+cosα)/2) ("符号由" α/2 "角所在的象限决定" );
(3)tan α/2=±√((1"-" cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1"-" cosα)/sinα
("符号由" α/2 "角所在的象限决定" ).
二、积化和差、和差化积公式
1.(1)积化和差公式有何特点?
提示:积化和差公式中:同名三角函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名三角函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α,β,等式右边为它们的和与差.
(2)积化和差公式右侧系数都为1/2吗?
提示:否.如sin αsin β=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)].
(3)和差化积公式有何特点?
提示:余弦的和或差化为同名三角函数之积;正弦的和或差化为异名三角函数之积;等式左边为单角x与y,等式右边为(x+y)/2 与 (x"-" y)/2的形式.
2.填空
(1)cos αcos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)];
sin αsin β=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)];
sin αcos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)];
cos αsin β=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)].
(2)sin x+sin y=2sin(x+y)/2cos(x"-" y)/2;
sin x-sin y=2cos(x+y)/2sin(x"-" y)/2;
cos x+cos y=2cos(x+y)/2cos(x"-" y)/2;
cos x-cos y=-2sin(x+y)/2sin(x"-" y)/2.
3.做一做
计算:(1)sin 52.5°cos 7.5°=___________;
(2)sin αsin 3α=___________.
答案:(1)(√3+√2)/4 (2)1/2cos 2α-1/2cos 4α
4.判断正误
(1)sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ.( )
(2)cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ.( )
(3)sin 3θ-sin 5θ=-1/2cos 4θcos θ. ( )
(4)sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ. ( )
(5)sin xsin y=1/2[cos(x-y)-cos(x+y)]. ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
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简单的三角恒等变换PPT，第三部分内容：探究学习
半角公式的应用
角度1 用半角公式解决求值问题
例1已知5π/2<θ<3π,且sin θ=24/25,求sin θ/2,cos θ/2,tan θ/2,cos θ/4的值.
分析:先由sin θ的值求出cos θ的值,再套用半角公式求出sin θ/2,cos θ/2,tan θ/2的值,再将θ/4视为θ/2的一半,继续利用半角公式求出cos θ/4的值.
解:因为5π/2<θ<3π,且sin θ=24/25,
所以cos θ=-√(1"-" sin^2 θ)=-7/25.于是5π/4<θ/2<3π/2,
故sin θ/2=-√((1"-" cosθ)/2)=-√(1"-" ("-" 7/25)/2)=-4/5,
cos θ/2=-√((1+cosθ)/2)=-√((1+("-" 7/25))/2)=-3/5,
tan θ/2=(sin" " θ/2)/(cos" " θ/2)=4/3.
又因为5π/8<θ/4<3π/4,所以cos θ/4=-√((1+cos" " θ/2)/2)=-√((1+("-" 3/5))/2)=-√5/5.
反思感悟 已知θ的某个三角函数值,求 的三角函数值的步骤是:(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算.
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简单的三角恒等变换PPT，第四部分内容：思维辨析
忽视对角的讨论致误
典例 若2sin θ=1+cos θ,则tan θ/2的值等于( )
A.1/2 B.1/2或不存在
C.2 D.2或1/2
错解由已知得sinθ/(1+cosθ)=1/2,即tan θ/2=1/2.故选A.
提示:错解中,由2sin θ=1+cos θ得出sinθ/(1+cosθ)=1/2时,忘记了讨论1+cos θ=0的情况,导致错误.
正解:若1+cos θ=0,则cos θ=-1,θ=(2k+1)π,k∈Z,此时θ/2=kπ+π/2(k∈Z),则tan θ/2不存在;若1+cos θ≠0,则tan θ/2=sinθ/(1+cosθ)=1/2.
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简单的三角恒等变换PPT，第五部分内容：随堂演练
1.设5π<θ<6π,cos θ/2=a,则sin θ/4等于( )
A.√(1+a)/2 B.√(1"-" a)/2 C.-√((1+a)/2) D.-√((1"-" a)/2)
解析:若5π<θ<6π,则5π/4<θ/4<3π/2,则sin θ/4=-√((1"-" cos" " θ/2)/2)=-√((1"-" a)/2).
答案:D
2.化简√(2+cos2"-" sin^2 1)的结果是( )
A.-cos 1 B.cos 1 C.√3cos 1 D.-√3cos 1
解析:原式=√(2+1"-" 2sin^2 1"-" sin^2 1)=√(3"-" 3sin^2 1)=√(3"(" 1"-" sin^2 1")" )=√(3cos^2 1)=√3cos 1.
答案:C
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