《三角函数的应用》三角函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
2.会用三角函数模型解决简单的实际问题.
3.初步学会使用分析数据或图象特征进行一些简单的函数拟合.
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三角函数的应用PPT，第二部分内容：自主预习
一、三角函数的应用
1.简谐运动
(1)对于函数y=Asin(ωx+φ),其最值、周期分别与哪些参数有关?如果一个简谐振动,其解析式是y=3sin(πx+π/6),结合物理学知识,其振幅、周期、初相分别是多少?
提示:函数y=Asin(ωx+φ)的最值与A有关,周期与ω有关;对于简谐振动y=3sin(πx+π/6),其振幅等于3,周期是2,初相为π/6.
(2)填空
在y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)(A>0,ω>0)中,各参数的物理意义.
(3)做一做
简谐振动y=1/3sin(x/4+π/5)的振幅、周期、初相分别为( )
A.1/3,π/2,π/5 B.1/3,8π,π/5
C.-1/3,8π,π/5 D.1/3,8π,4π/5
解析:因为A=1/3,ω=1/4,所以周期T=2π/(1/4)=8π,故振幅为1/3,初相φ=π/5.
答案:B
二、应用三角函数模型解决问题的一般程序
1.填空
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目周期性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
2.做一做
如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位:米)在某天从0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为________________.
三角函数模型在日常生活中的应用
例1心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:
(1)求函数p(t)的周期;
(2)求此人每分钟心跳的次数;
(3)画出函数p(t)的草图;
(4)求出此人的血压在血压计上的读数.
分析:函数解析式已知,可根据周期公式以及周期与频率的关系解决(1)(2).用“五点作图法”解决(3).由函数解析式或图象得出函数的最大值以及最小值即得血压在血压计上的读数从而得(4).
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三角函数的应用PPT，第三部分内容：思维辨析
不能正确理解简谐运动的过程致误
典例 弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20 cm,某时刻振子处在点B,经0.5 s振子首次达到点C.求:
(1)振动的振幅、周期和频率;
(2)振子在5 s内通过的路程及这时位移的大小.
错解(1)因为B,C相距20 cm,
所以振幅A=20 cm.
因为从点B经0.5 s振子首次达到点C,
所以周期T=0.5 s,频率f=1/T=2.
(2)5 s内的路程=位移=5A=5×20=100 cm.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示:振子以O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20 cm,说明振子离开平衡位置的最大值和最小值点相距20 cm,即振幅的2倍等于20 cm;振子从点B经0.5秒首次到达点C,再返回点B才是一个周期,因此,应有 =0.5 s;路程与位移有区别,路程只有大小,位移不仅有大小,还有方向.错解中由于对周期的概念理解不清导致周期求错,另外,混淆了路程与位移直接的区别导致结果错误.
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三角函数的应用PPT，第四部分内容：随堂演练
1.函数y=3sin("-" x+π/6)的相位和初相分别是( )
A.-x+π/6,π/6 B.x-π/6,-π/6
C.x+5π/6,5π/6 D.x+5π/6,π/6
解析:因为y=3sin("-" x+π/6)
=3sin[π"-" ("-" x+π/6)]=3sin(x+5π/6),
所以相位和初相分别是x+5π/6,5π/6.
答案:C
2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙的位置将移至( )
A.x轴上 B.最低点 C.最高点 D.不确定
解析:相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.
答案:C
3.如图所示是一个简谐运动的图象,则下列判断正确的是 ( )
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为-5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
解析:由题中图象及简谐运动的有关知识知,T=0.8 s,A=5 cm.当t=0.1 s或0.5 s时,v为零.
答案:D
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