《章末整合》三角函数PPT
第一部分内容：专题一 三角函数的图象及其变换
例1函数f(x)=Asin(ωx+φ) A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,|φ|<π/2 的部分图象如图所示,则f(0)的值是_________.
解析:由题图可知,A=√2,T/4=7π/12-π/3=π/4,所以T=π,ω=2π/T=2.又函数图象经过点(π/3 "," 0),
所以2×π/3+φ=π,则φ=π/3,故函数的解析式为f(x)=√2sin(2x+π/3),所以f(0)=√2sinπ/3=√6/2.
答案:√6/2
归纳总结由已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题方法是待定系数法.由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不是唯一的,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一的解,否则φ的值不确定,解析式也就不唯一.
变式训练1已知函数y=f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,0<φ<π/2 的图象上的一个最低点为M(2π/3 ",-" 2),周期为π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后再将所得的图象沿x轴向右平移 个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,写出函数y=g(x)的解析式;
(3)当x∈[0"," π/12]时,求函数f(x)的最大值和最小值.
分析:(1)先由函数图象的周期为π确定ω,再由图象的一个最低点为M(2π/3 ",-" 2),确定A,φ.(2)通过图象变换与解析式的关系确定g(x).(3)由x∈[0"," π/12]确定ωx+φ的范围,从而确定最值.
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章末整合PPT，第二部分内容：专题二 三角函数的求值
例2试求 tan 10°+4sin 10°的值.
分析:所求式中含有切函数和弦函数,应先将切化弦通分,然后根据角之间的关系求解.
解:原式=(√3 sin10"°" +4sin10"°" cos10"°" )/cos10"°"
=(√3 sin10"°" +2sin20"°" )/cos10"°" =(√3 sin"(" 30"°-" 20"°)" +2sin20"°" )/cos10"°"
=(√3 sin30"°" cos20"°-" √3 cos30"°" sin20"°" +2sin20"°" )/cos10"°"
=(√3/2 cos20"°" +1/2 sin20"°" )/cos10"°"
=(sin"(" 60"°" +20"°)" )/cos10"°"
=sin80"°" /cos10"°" =1.
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章末整合PPT，第三部分内容：专题三 三角函数的化简与证明
例4化简:("(" 1+sinα+cosα")" (sin α/2 "-" cos α/2))/√(2+2cosα)(π<α<2π).
分析:观察知,含有角α/2与其二倍角α,且分母中含有根号,考虑用升幂公式将cos α化为有关cos2α/2的式子,去掉根号.
解:原式
=(2cos^2 α/2+2sin α/2 cos α/2)(sin α/2 "-" cos α/2)/√(4cos^2 α/2)
=(2cos α/2 (cos α/2+sin α/2)(sin α/2 "-" cos α/2))/2|cos α/2|
=(cos α/2 (sin^2 α/2 "-" cos^2 α/2))/|cos α/2|
=-(cos α/2 cosα)/|cos α/2| .
∵π<α<2π,
∴π/2<α/2<π.
∴cosα/2<0.
∴原式=cos α.
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章末整合PPT，第四部分内容：专题四 三角函数性质与变换公式的综合应用
例6当x=π/4时,函数y=f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数y=f(3π/4 "-" x)是( )
A.奇函数且当x=π/2时取得最大值
B.偶函数且图象关于点(π,0)对称
C.奇函数且当x=π/2时取得最小值
D.偶函数且图象关于点(π/2 "," 0)对称
解析:∵f(π/4)=-A,
∴sin(π/4+φ)=-1,
∴φ=5π/4+2kπ,k∈Z,∴y=f(3π/4 "-" x)=Asin(-x)=-Asin x,
∴y=f(3π/4 "-" x)是奇函数,且当x=π/2时取得最小值.
答案:C
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