《平面向量基本定理及坐标表示》平面向量及其应用PPT下载(平面向量数量积的坐标表示)
第一部分内容：内容标准
1.能用坐标表示平面向量的数量积．
2.会用坐标表示两个平面向量的夹角．
3.能用坐标表示平面向量垂直的条件.
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平面向量基本定理及坐标表示PPT，第二部分内容：课前 • 自主探究
[教材提炼]
知识点一 平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
预习教材，思考问题
已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的向量，则a，b如何用i、j表示？
(2)能否用a、b的坐标表示a•b？怎样表示？
(3)向量垂直与数量积的关系是什么？能用坐标表示向量垂直吗？
知识点二 平面向量的模与夹角的坐标表示
预习教材，思考问题
已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
|a|，|b|分别用坐标怎样表示？a、b的夹角能否用坐标表示？
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平面向量基本定理及坐标表示PPT，第三部分内容：课堂 • 互动探究
探究一 数量积的坐标运算
[例1] 已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)．
(1)求a•(a－b)；
(2)求(a＋b)•(2a－b)；
(3)若c＝(2,1)，求(a•b)c，a(b•c)．
[分析] 根据坐标运算法则，结合数量积的运算律进行计算．
[解析] (1)法一：∵a＝(－1,2)，b＝(3,2)，
∴a－b＝(－4,0)．
∴a•(a－b)＝(－1,2)•(－4,0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
法二：a•(a－b)＝a2－a•b
＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
(2)∵a＋b＝(－1,2)＋(3,2)＝(2,4)，
2a－b＝2(－1,2)－(3,2)＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，
∴(a＋b)•(2a－b)＝(2,4)•(－5,2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.
方法提升
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解．
探究二 向量平行与垂直的坐标形式的应用
[例3] 已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
方法提升
1．已知向量垂直求参数问题，即由相应向量的数量积为0建立关于参数的方程，求解即可．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.
两个命题不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
探究三 求向量的夹角
[例4] (1)已知a＝(1，3)，b＝(3＋1，3－1)，求a与b的夹角；
(2)已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,5)，求证△ABC是锐角三角形．
[分析] (1)分别求出a•b，|a|，|b|，代入夹角公式求解；
(2)△ABC是锐角三角形，即三个内角都是锐角，分别求出相应向量夹角的余弦值，确定该三角形三个内角的余弦值均大于0即可．
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平面向量基本定理及坐标表示PPT，第四部分内容：课后 • 素养培优
一、不等价转化致错——由向量夹角求参数的取值范围不能忽视向量共线的情况
逻辑推理、数学运算
利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况．
[典例1] 已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
[素养提升] 对非零向量a与b，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔cos θ>0且cos θ≠1⇔a•b>0且a≠mb(m>0)；θ为钝角⇔cos θ<0且cos θ≠－1⇔a•b<0且a≠mb(m<0)；θ为直角⇔cos θ＝0⇔a•b＝0.
二、与向量模最值有关的问题
逻辑推理、数学运算
求向量模的最值(范围)的方法
(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
[典例2] 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________．
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