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《平面向量基本定理及坐标表示》平面向量及其应用PPT下载(平面向量数量积的坐标表示)

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《平面向量基本定理及坐标表示》平面向量及其应用PPT下载(平面向量数量积的坐标表示)

第一部分内容:内容标准

1.能用坐标表示平面向量的数量积.

2.会用坐标表示两个平面向量的夹角.

3.能用坐标表示平面向量垂直的条件.

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平面向量基本定理及坐标表示PPT,第二部分内容:课前 • 自主探究

[教材提炼]

知识点一 平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示

预习教材,思考问题

已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).

(1)若i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的向量,则a,b如何用i、j表示?

(2)能否用a、b的坐标表示a•b?怎样表示?

(3)向量垂直与数量积的关系是什么?能用坐标表示向量垂直吗?

知识点二 平面向量的模与夹角的坐标表示

预习教材,思考问题

已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).

|a|,|b|分别用坐标怎样表示?a、b的夹角能否用坐标表示?

... ... ...

平面向量基本定理及坐标表示PPT,第三部分内容:课堂 • 互动探究

探究一 数量积的坐标运算

[例1] 已知向量a=(-1,2),b=(3,2).

(1)求a•(a-b);

(2)求(a+b)•(2a-b);

(3)若c=(2,1),求(a•b)c,a(b•c).

[分析] 根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.

[解析] (1)法一:∵a=(-1,2),b=(3,2),

∴a-b=(-4,0).

∴a•(a-b)=(-1,2)•(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.

法二:a•(a-b)=a2-a•b

=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.

(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),

2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),

∴(a+b)•(2a-b)=(2,4)•(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.

方法提升

数量积运算的途径及注意点

(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.

(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.

探究二 向量平行与垂直的坐标形式的应用

[例3] 已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).

(1)若a⊥b,求x的值;

(2)若a∥b,求|a-b|.

方法提升

1.已知向量垂直求参数问题,即由相应向量的数量积为0建立关于参数的方程,求解即可.

2.已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).

若a∥b⇔x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0;

若a⊥b⇔x1x2=-y1y2,即x1x2+y1y2=0.

两个命题不能混淆,可以对比学习,分别简记为:纵横交错积相等,横横纵纵积相反.

探究三  求向量的夹角 

[例4] (1)已知a=(1,3),b=(3+1,3-1),求a与b的夹角;

(2)已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),求证△ABC是锐角三角形.

[分析] (1)分别求出a•b,|a|,|b|,代入夹角公式求解;

(2)△ABC是锐角三角形,即三个内角都是锐角,分别求出相应向量夹角的余弦值,确定该三角形三个内角的余弦值均大于0即可.

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平面向量基本定理及坐标表示PPT,第四部分内容:课后 • 素养培优

一、不等价转化致错——由向量夹角求参数的取值范围不能忽视向量共线的情况

逻辑推理、数学运算

利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时,不要忽视两向量共线的情况.

[典例1] 已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是________.

[素养提升] 对非零向量a与b,设其夹角为θ,则θ为锐角⇔cos θ>0且cos θ≠1⇔a•b>0且a≠mb(m>0);θ为钝角⇔cos θ<0且cos θ≠-1⇔a•b<0且a≠mb(m<0);θ为直角⇔cos θ=0⇔a•b=0.

二、与向量模最值有关的问题

逻辑推理、数学运算

求向量模的最值(范围)的方法

(1)代数法:把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.

(2)几何法(数形结合法):弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.

[典例2] 已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA→+3PB→|的最小值为________.

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