《函数的单调性》函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.理解函数的单调性的概念.
2.会用函数单调性的定义判断和证明一些简单函数的单调性.
3.能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间.
4.掌握函数单调性的一些简单应用.
5.理解函数的平均变化率.
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函数的单调性PPT，第二部分内容：自主预习
知识点一、函数单调性的概念
1.思考
(1)对于函数y=1/x,x∈(0,+∞),随着自变量x的增大,函数值y有何变化规律?函数y=1/x,x∈(-∞,0)的情况呢?
提示:①对于函数y=1/x,x∈(0,+∞)任意取x∈(0,+∞),随着x取值的增大,函数值y是减小的;
②对于y=1/x,x∈(-∞,0)任意取x∈(-∞,0),随着x取值的增大,函数值y也是减小的.
(2)“函数y=1/x在区间(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数”是否正确?
提示:不正确,函数y=1/x的单调区间不能取并集,应写为(-∞,0),(0,+∞)或(-∞,0)和(0,+∞).
(3)若把增、减函数定义中的“任意x1,x2”改为“存在x1,x2”可以吗?
提示:不可以,如图:
虽然Δx=2-(-1)>0,Δy=f(2)-f(-1)>0,但f(x)在[-1,2]上并不是单调函数.因此“任意”两字不能忽视,更不能用“特殊”取代.
为了方便也可将定义改为:如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1≠x2时,总有(f"(" x_1 ")-" f"(" x_2 ")" )/(x_1 "-" x_2 )>0(<0) ,那么就说函数f(x)在区间D上是增(减)函数.
2.填空
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,且M⊆A.
(1)如果对任意x1,x2∈M,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称y=f(x)在M上是增函数(也称在M上单调递增),如图(1)所示.
(2)如果对任意x1,x2∈M,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称y=f(x)在M上是减函数(也称在M上单调递减),如图(2)所示.
如果一个函数在M上是增函数或是减函数,就说这个函数在M上具有单调性(当M为区间时,称M为函数的单调区间).
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函数的单调性PPT，第三部分内容：探究学习
用定义法证明(判断)函数的单调性
例1 利用单调性的定义证明函数f(x)=1/x^2 在(-∞,0)内是增函数.
分析:解题的关键是对Δy=f(x2)-f(x1)合理变形,最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式,以便于判号.
证明设x1,x2是(-∞,0)内的任意两个值,且x1<x2,则Δx=x2-x1>0,
Δy=f(x2)-f(x1)=1/(x_2^2 )-1/(x_1^2 )=(x_1^2 "-" x_2^2)/(x_1^2 "•" x_2^2 )
=("(" x_1 "-" x_2 ")(" x_1+x_2 ")" )/(x_1^2 "•" x_2^2 )=("-" Δx"•(" x_1+x_2 ")" )/(x_1^2 "•" x_2^2 ),
∵x_1^2•x_2^2>0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数f(x)=1/x^2 在(-∞,0)内是增函数.
反思感悟证明函数的单调性的步骤
1.取值:设x1,x2为给定区间内任意的两个值,且x1<x2(在证明函数的单调性时,由于x1,x2的取值具有任意性,它代表区间内的每一个数,所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正负号时,经常采用这种变形方法);
3.定号:判断符号的依据是自变量的取值范围、假定的大小关系及符号的运算法则;
4.判断:根据定义作出结论(若Δx=x2-x1与Δy=f(x2)-f(x1)同号,则函数在给定区间是增函数;异号,则是减函数).
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函数的单调性PPT，第四部分内容：思维辨析
分类讨论思想在函数单调性中的应用
典例 讨论函数f(x)=ax/(x^2 "-" 1)(-1<x<1,a≠0)的单调性.
思路点拨:要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨论思想的应用.
解:设x1,x2是(-1,1)内的任意两个自变量,且x1<x2.
则f(x1)-f(x2)=(ax_1)/(x_1^2 "-" 1)-(ax_2)/(x_2^2 "-" 1)=(a"(" x_1 x_2+1")(" x_2 "-" x_1 ")" )/("(" x_1^2 "-" 1")(" x_2^2 "-" 1")" ).
∵x1x2+1>0,x2-x1>0,x_1^2-1<0,x_2^2-1<0,
∴当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
此时f(x)在(-1,1)内是减函数;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
此时f(x)在(-1,1)内是增函数.
综上所述,当a>0时,函数f(x)在(-1,1)内是减函数;
当a<0时,函数f(x)在(-1,1)内是增函数.
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函数的单调性PPT，第五部分内容：当堂检测
1.下列函数在区间(-∞,0)内为增函数的是( )
A.f(x)=3-x B.f(x)=1/(x"-" 1)
C.f(x)=x2-2x-1 D.f(x)=-|x|
解析:设任意x1,x2∈(-∞,0),Δx=x2-x1>0,选项A中,Δy=f(x2)-f(x1)=(3-x2)-(3-x1)=x1-x2<0,所以该函数在区间(-∞,0)内为减函数;同理可判断选项B中和选项C中函数在区间(-∞,0)内为减函数,选项D中函数在区间(-∞,0)内为增函数.
答案:D
2.下列命题正确的是( )
A.定义在(a,b)内的函数f(x),若存在x1<x2,使得f(x1)<f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数
B.定义在(a,b)内的函数f(x),若有无数多对x1,x2∈(a,b),使得当x1<x2时有f(x1)<f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数
C.若f(x)在区间I1上为增函数,在区间I2上也为增函数,则f(x)在I1∪I2上为增函数
D.若f(x)在区间I上为增函数,且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),则x1<x2
解析:根据函数单调性的定义来判断.
答案:D
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